Resolução
Resolver \(-y\,dx+(x+\sqrt{xy})\,dy=0\).
\[\frac{dy}{dx}=\frac{y}{x+\sqrt{xy}}\]
A equação é homogênea.
\[y=vx,\qquad \frac{dy}{dx}=v+x\frac{dv}{dx}\]
Usamos \(y=vx\).
\[v+x\frac{dv}{dx}=\frac{v}{1+\sqrt{v}}\]\[x\frac{dv}{dx}=-\frac{v^{3/2}}{1+\sqrt{v}}\]
Substituímos e separamos as variáveis.
\[\frac{1+\sqrt{v}}{v^{3/2}}\,dv=-\frac{dx}{x}\]
Separamos as variáveis.
\[u=\sqrt{v},\qquad dv=2u\,du\]\[-\frac{2}{u}+2\ln|u|=-\ln|x|+C\]
Fazemos \(u=\sqrt{v}\) para integrar.
\[\boxed{\ln|y|-2\sqrt{\frac{x}{y}}=C}\]
Forma implícita da solução geral.
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resolução de Marcelo Botura
ZILL, Dennis G.; CULLEN, Michael R. Equações Diferenciais, volume 1. Tradução Antonio Zumpano; revisão técnica Antonio Pertence Jr. São Paulo: Pearson Makron Books, 2001. Título original: Differential Equations with Boundary-Value Problems, 3rd edition.