Resolução
Resolver a equação diferencial \(x\,dx + (y - 2x)\,dy = 0\).
\[
x + (y - 2x)\frac{dy}{dx} = 0
\]
\[
\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y - 2x}
\]
Primeiro escrevemos a equação na forma diferencial em relação a \(x\).
\[
y = vx
\]
\[
\frac{dy}{dx} = v + x\frac{dv}{dx}
\]
A equação é homogênea, então usamos a substituição \(y = vx\).
\[
v + x\frac{dv}{dx} = -\frac{1}{v - 2}
\]
\[
x\frac{dv}{dx} = \frac{(v - 1)^2}{2 - v}
\]
Substituímos \(y\) e \(\frac{dy}{dx}\) para obter uma equação separável em \(v\).
\[
\frac{2 - v}{(v - 1)^2}\,dv = \frac{dx}{x}
\]
\[
\int \frac{2 - v}{(v - 1)^2}\,dv = \int \frac{dx}{x}
\]
Agora separamos as variáveis e integramos os dois lados.
\[
-\frac{1}{v - 1} - \ln|v - 1| = \ln|x| + C
\]
\[
-\frac{x}{y - x} - \ln\left|\frac{y - x}{x}\right| = \ln|x| + C
\]
Depois da integração, voltamos da variável \(v\) para \(y\) e \(x\).
\[
\boxed{
\frac{x}{y - x} + \ln|y - x| = C
}
\]
Esta é a forma implícita da solução geral.
∎
ZILL, Dennis G. Equações diferenciais com aplicações em modelagem. 3. ed. São Paulo: Cengage Learning, 2011.