Resolução
Resolver \(\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{y-x}{y+x}\).
\[y=vx,\qquad \frac{dy}{dx}=v+x\frac{dv}{dx}\]
A equação é homogênea.
\[v+x\frac{dv}{dx}=\frac{v-1}{v+1}\]\[x\frac{dv}{dx}=-\frac{v^2+1}{v+1}\]
Substituímos \(y=vx\).
\[\frac{v+1}{v^2+1}\,dv=-\frac{dx}{x}\]
Separamos as variáveis.
\[\frac{1}{2}\ln(v^2+1)+\arctan(v)=-\ln|x|+C\]
Integramos termo a termo.
\[\boxed{\frac{1}{2}\ln(x^2+y^2)+\arctan\left(\frac{y}{x}\right)=C}\]
Forma implícita da solução geral.
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resolução de Marcelo Botura
ZILL, Dennis G. Equações diferenciais com aplicações em modelagem. 3. ed. São Paulo: Cengage Learning, 2011.