Resolução
Resolver \(2x^2y\,dx=(3x^3+y^3)\,dy\).
\[\frac{dy}{dx}=\frac{2x^2y}{3x^3+y^3}\]
A equação é homogênea.
\[y=vx,\qquad \frac{dy}{dx}=v+x\frac{dv}{dx}\]
Usamos \(y=vx\).
\[v+x\frac{dv}{dx}=\frac{2v}{3+v^3}\]\[x\frac{dv}{dx}=-\frac{v(v^3+1)}{v^3+3}\]
Substituímos e separamos as variáveis.
\[\frac{v^3+3}{v(v^3+1)}\,dv=-\frac{dx}{x}\]\[\left(\frac{3}{v}-\frac{2v^2}{v^3+1}\right)dv=-\frac{dx}{x}\]
Usamos frações parciais.
\[3\ln|v|-\frac{2}{3}\ln|v^3+1|=-\ln|x|+C\]
Integramos os dois lados.
\[\boxed{3\ln|y|-\frac{2}{3}\ln|x^3+y^3|=C}\]
Forma implícita da solução geral.
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resolução de Marcelo Botura
ZILL, Dennis G. Equações diferenciais com aplicações em modelagem. 3. ed. São Paulo: Cengage Learning, 2011.