Resolução
Resolver \(\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{y}{x}+\dfrac{x}{y}\).
\[y=vx,\qquad \frac{dy}{dx}=v+x\frac{dv}{dx}\]
A equação é homogênea.
\[v+x\frac{dv}{dx}=v+\frac{1}{v}\]\[x\frac{dv}{dx}=\frac{1}{v}\]
Substituímos e separamos as variáveis.
\[v\,dv=\frac{dx}{x}\]\[\frac{1}{2}v^2=\ln|x|+C\]
Integramos os dois lados.
\[\boxed{y^2=x^2\left(2\ln|x|+C\right)}\]
Forma da solução geral.
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resolução de Marcelo Botura
ZILL, Dennis G. Equações diferenciais com aplicações em modelagem. 3. ed. São Paulo: Cengage Learning, 2011.