Resolução
Resolver \((x^2+xy-y^2)\,dx-xy\,dy=0\).
\[\frac{dy}{dx}=\frac{x^2+xy-y^2}{xy}=\frac{x}{y}+1-\frac{y}{x}\]
A equação é homogênea.
\[y=vx,\qquad \frac{dy}{dx}=v+x\frac{dv}{dx}\]
Usamos \(y=vx\).
\[v+x\frac{dv}{dx}=\frac{1}{v}+1-v\]\[x\frac{dv}{dx}=\frac{1+v-2v^2}{v}\]
Substituímos e separamos.
\[\frac{v}{(1-v)(2v+1)}\,dv=\frac{dx}{x}\]\[\frac{1}{3}\frac{dv}{1-v}-\frac{1}{3}\frac{dv}{2v+1}=\frac{dx}{x}\]
Usamos frações parciais.
\[-\frac{1}{3}\ln|1-v|-\frac{1}{6}\ln|2v+1|=\ln|x|+C\]
Integramos os dois lados.
\[\boxed{x^3(x-y)^2(x+2y)=C}\]
Forma implícita da solução geral.
∎
resolução de Marcelo Botura
ZILL, Dennis G. Equações diferenciais com aplicações em modelagem. 3. ed. São Paulo: Cengage Learning, 2011.