Resolução
Resolver a equação diferencial \(\dfrac{dy}{dx}=\sin 5x\).
\[ \frac{dy}{dx}=\sin 5x \;\Longrightarrow\; dy=\sin 5x\,dx \]
Colocamos a equação na forma diferencial para integrar os dois lados.
\[\int dy=\int \sin 5x\,dx\]
Integramos ambos os lados da equação.
\[u=5x,\qquad du=5\,dx\]
Para enxergar melhor a regra da cadeia, fazemos a substituição \(u=5x\).
\[\int \sin 5x\,dx=\int \sin u\cdot \frac{du}{5}\]
A integral fica \(\frac{1}{5}\int \sin u\,du\), mostrando o fator que surge da mudança de variável.
\[\frac{1}{5}\int \sin u\,du=-\frac{1}{5}\cos u + C\]
Integramos \(\sin u\) e voltamos para a variável original.
\[y=-\frac{1}{5}\cos 5x + C\]\[\boxed{y=-\frac{1}{5}\cos 5x + C}\]
Acrescentamos a constante de integração e obtemos a solução geral.
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resolução de Marcelo Botura
ZILL, Dennis G.; CULLEN, Michael R. Equações Diferenciais, volume 1. Tradução Antonio Zumpano; revisão técnica Antonio Pertence Jr. São Paulo: Pearson Makron Books, 2001. Título original: Differential Equations with Boundary-Value Problems, 3rd edition.