Resolução
Resolver a equação diferencial \(y\,\dfrac{dx}{dy} = x + 4y e^{-2x/y}\).
\[
\frac{dx}{dy} = \frac{x}{y} + 4e^{-2x/y}
\]
Escrevemos a equação em termos de \(x(y)\).
\[
u=\frac{x}{y}, \qquad x=uy, \qquad \frac{dx}{dy}=u+y\frac{du}{dy}
\]
Fazemos a substituição homogênea \(u=x/y\).
\[
u+y\frac{du}{dy}=u+4e^{-2u}
\]
\[
y\frac{du}{dy}=4e^{-2u}
\]
A equação fica separável.
\[
e^{2u}du = 4\frac{dy}{y}
\]
\[
\frac{1}{2}e^{2u}=4\ln|y|+C
\]
Integramos os dois lados.
\[
e^{2x/y}=8\ln|y|+C
\]
\[
\boxed{e^{2x/y}-8\ln|y|=C}
\]
Forma implícita da solução geral.
∎
resolução de Marcelo Botura
ZILL, Dennis G.; CULLEN, Michael R. Equações Diferenciais, volume 1. Tradução Antonio Zumpano; revisão técnica Antonio Pertence Jr. São Paulo: Pearson Makron Books, 2001. Título original: Differential Equations with Boundary-Value Problems, 3rd edition.