Resolução
Resolver a equação diferencial \((y+\cot(y/x))\,dx - x\,dy = 0\).
\[
x\frac{dy}{dx}=y+\cot\!\left(\frac{y}{x}\right)
\]
\[
\frac{dy}{dx}=\frac{y}{x}+\frac{1}{x}\cot\!\left(\frac{y}{x}\right)
\]
A equação depende de \(y/x\), então usamos a substituição homogênea.
\[
v=\frac{y}{x}, \qquad y=vx, \qquad \frac{dy}{dx}=v+x\frac{dv}{dx}
\]
Tomamos \(v=y/x\).
\[
v+x\frac{dv}{dx}=v+\frac{1}{x}\cot(v)
\]
\[
x^2\frac{dv}{dx}=\cot(v)
\]
Substituímos e isolamos a derivada de \(v\).
\[
\tan(v)\,dv=\frac{dx}{x^2}
\]
\[
-\ln|\cos(v)|=-\frac{1}{x}+C
\]
Integramos os dois lados.
\[
\ln\left|\cos\!\left(\frac{y}{x}\right)\right|=\frac{1}{x}+C
\]
\[
\boxed{\cos\!\left(\frac{y}{x}\right)=Ce^{1/x}}
\]
Forma implícita da solução geral.
∎
resolução de Marcelo Botura
ZILL, Dennis G.; CULLEN, Michael R. Equações Diferenciais, volume 1. Tradução Antonio Zumpano; revisão técnica Antonio Pertence Jr. São Paulo: Pearson Makron Books, 2001. Título original: Differential Equations with Boundary-Value Problems, 3rd edition.