Notas de aula | Cálculo III

Equações Diferenciais · Notas de Aula 16/03 · @sabormatematica
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Derivadas representam taxas de variação. Matemáticos fazem análises diferentes das dos físicos, químicos, etc. Desenvolver técnicas para determinar a solução.

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4 provas e 16 testes. Cada teste (0,5) · 4 testes (2,0). Teste: resolução de exercícios durante a aula.

Equações Diferenciais (ED)

1. Definição (provisória)

Uma equação diferencial (ED) · uma equação envolvendo as derivadas de uma variável dependente em relação a uma ou mais variáveis independentes.

2. Classificação de uma ED

Podemos classificar em três categorias: Tipo, Ordem, Linearidade.

3. Classificação por tipo

a) Equação Diferencial Ordinária (EDO)
Contém somente derivadas ordinárias de uma variável dependente em relação a uma única variável independente.

Exemplos:
\[ \text{(i)}\quad y''(t) + 5y'(t) - \sin(t)\,y(t) = e^t ; \, \, \, y=y(t) \]
\[ \text{(ii)}\quad y'(x) - \left(\frac{x^2 + 9x}{\sqrt{x - \pi}}\right)y(x) - 35\cos(x^2) = 0 ; \, \, \, y=y(x) \]
\[ \text{(iii)}\quad (x^5 + x^2)\frac{d^3 y}{dx^3} + 15\frac{dy}{dx}\,y + y^2 = e^{x^2 + \sqrt{x}} ; \, \, \, y=y(x) \]

Variável independente \(x\), dependente \(y\).

b) Equação Diferencial Parcial (EDP)
Contém derivadas parciais de uma variável dependente em relação a duas ou mais variáveis independentes.

Exemplos:
\[ \text{(iv)}\quad \frac{\partial u}{\partial t} = c\,\frac{\partial u}{\partial x}; \quad u(x,t) \]
\[ \text{(v)}\quad \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 0 ; \quad u=u(x,y) \]
\[ \text{(vi)}\quad \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + u\frac{\partial^4 u}{\partial y^4} + u^2 + \left(\frac{\partial u}{\partial x}\right)^3 = x^2 + y + \sin z ; \quad u = u(x,y,z) \]

4. Classificação por ordem

A ordem da equação · dada pelo termo que contém a maior ordem da derivada.

5. Equação diferencial ordinária de n-ésima ordem

Doravante restringimos ao estudo de EDOs. Seja \(\Omega\) uma região do \(\mathbb{R}^{n+1}\) e \(f:\Omega \subset \mathbb{R}^{n+1} \to \mathbb{R}\) contínua. Uma EDO de n-ésima ordem · dada por:

\[ F(x, y, y', y'', \ldots, y^{(n)}) = 0,\quad y = y(x) \]

Exemplos anteriores

\[ \text{(i)}\quad F(t,y,y',y'') = y'' + 5y' - \sin t - e^t \]
\[ \text{(ii)}\quad F(x,y,y') = y' - \left(\frac{x^2 + 9x}{\sqrt{x - \pi}}\right)y - 35\cos(x^2) \]
\[ \text{(iii)}\quad F(x,y,y',y'',y''') = (x^5 + x^2) + 15y' \cdot y + y^2 - e^{x^2 + \sqrt{x}} \]

6. Classificação de uma EDO quanto à linearidade

Uma EDO de ordem \(n\) · linear se tem a forma:

\[ \sum_{k=0}^{n} a_k(x)\frac{d^k y}{dx^k} = a_n(x)\frac{d^n y}{dx^n} + \dots + a_1(x)\frac{dy}{dx} + a_0(x)y = g(x) \]
Observações:
  1. Os coeficientes \(a_k(x)\) dependem unicamente da variável independente \(x\).
  2. Se a EDO não possuir a forma acima, ent?o ela · chamada de não linear.

São lineares as equações:

\[ \text{(i)}\quad x\,y' + \sin x \, y - \sqrt{x^3} = 0 \quad (a_1(x)=x,\; a_0(x)=\sin x,\; g(x)=\sqrt{x^3}) \]
\[ \text{(ii)}\quad (\sin^2 x + \ln x)\, y'' - y' = 0 \quad (a_2(x)=\sin^2 x+\ln x,\; a_1(x)=-1,\; a_0(x)=0,\; g(x)=0) \]
\[ \text{(iii)}\quad \frac{d^5 y}{dx^5} + 3\frac{d^3 y}{dx^3} - 19x\frac{d^2 y}{dx^2} = \frac{x^2 + x^5 + 3x}{x^4 - 95} \]

\(a_5(x)=1,\; a_4(x)=0,\; a_3(x)=3,\; a_2(x)=-19x,\; a_1(x)=0,\; a_0(x)=0\)

Não s?o lineares as equações:

\[ \text{(iv)}\quad (y')^2 + \sin(x)\,y = \sqrt{x^3} \quad\text{(pois \((y')^2\) não est? na forma linear)} \]
\[ \text{(v)}\quad x\,y'' - e^x - y^2 + \int_0^x e^{-t^2}\,dt = 0 \quad\text{(aparece \(y^2\))} \]
\[ \text{(vi)}\quad y\,y' + x^2\cos(x^2) + y''' = 0 \quad\text{(produto \(y\cdot y'\))} \]
\[ \text{(vii)}\quad \sqrt{x}\,y' + y^{1/2} = 3 \quad\text{(potência \(y^{1/2}\))} \]

7. Solução de uma EDO

Definição: Uma função real \(\phi\) de classe \(C^n(I)\) (\(I\) é um intervalo não degenerado da reta) chama-se solução de uma EDO

\[ F\left(x, y, \frac{dy}{dx}, \ldots, \frac{d^n y}{dx^n}\right) = 0, \quad F:\Omega \subset \mathbb{R}^{n+1} \to \mathbb{R} \]

Definida em \(I\), se:

  1. Para todos \(x \in I\), \((x, \phi(x), \phi'(x), \ldots, \phi^{(n)}(x)) \in \Omega\).
  2. Para todos \(x \in I\), \(F(x, \phi(x), \phi'(x), \ldots, \phi^{(n)}(x)) = 0\).

Exemplo: \(y' = y^2\)

\(F(x,y,y') = y' - y^2\). Afirmamos que \(\phi(x) = \dfrac{1}{c - x}\) (com \(c\) constante real) · solução. De fato:

\[ \phi'(x) = (-1)(c - x)^{-2}(-1) = \frac{1}{(c - x)^2} = \phi(x)^2 \]

Logo \(\phi' = \phi^2\). A solução trivial \(\phi(x) \equiv 0\) também é solução.

Observações:
  • Solução trivial: \(\phi(x) = 0\), \(\forall x \in \mathbb{R}\).
  • Para cada \(c \in \mathbb{R}\) temos uma solução diferente · infinitas soluções.

1) Solução trivial

\[ \phi(x) = 0 \quad \forall x \in \mathbb{R}, \quad I = \mathbb{R} \]
Gráfico da solução trivial \(y = 0\)

2) \( \quad c \in \mathbb{R} \quad \phi(x) = \frac{1}{c - x} \)

\[ \lim_{x \to -\infty} \phi(x) = 0, \quad \lim_{x \to c^-} \phi(x) = +\infty \]
Ramo esquerdo: \(x \in (-\infty, 1)\) · assíntota vertical em \(x=1\)

\[ \lim_{x \to c^+} \phi(x) = -\infty, \quad \lim_{x \to +\infty} \phi(x) = 0 \]
Ramo direito: \(x \in (1, +\infty)\) · assíntota vertical em \(x=1\)

\[ \lim_{x \to c^-} \phi(x) = +\infty,\quad \lim_{x \to c^+} \phi(x) = -\infty,\quad \lim_{x \to \pm\infty} \phi(x) = 0 \]
Assíntota vertical \(x = c\) (linha tracejada) e assíntota horizontal \(y = 0\)
Solução trivial \(y=0\) (eixo x)

(b) Considerando a EDO \(e^{y''} = -\pi\)

\(F(x,y,y',y'') = e^{y''} + \pi\) · Não existe solução!! (exponencial · sempre positiva)

\((y')^2 + y^2 + 1 = 0\) · Não existe solução!!

(c) \((y')^2 + x^2 y^2 = 0\)

Possui somente a solução trivial \(\phi(x) = 0\), \(\forall x \in \mathbb{R}\).

Observação final: Fazer exercícios das páginas 11/12 do material (Zill & Cullen).